รัสเซลมีความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาสืบเนื่องจากตรรกวิทยา เพราะฉะนั้น ต้องอาศัยความรู้เบื้องต้นของตรรกวิทยาเอาไปคิดต่อเป็นจำนวนเลข

ความคล้ายคลึงและการเชื่อมโยงกัน

จูเซ็ปเป เปอาโน (Giuseppe Peono) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีถือว่า ในคณิตศาสตร์มี 3 คำที่นิยามไม่ได้ แต่เป็นพื้นฐานของความรู้อื่น ๆ คือ ศูนย์ ตัวเลข และสิ่งที่รับช่วง (successor) รัสเซลว่านิยามได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างชั้น (Logical relation between classes or sets) เช่น ตัวเลข = a class of classes with the same number of members (having the same number of members = similarity) ความสัมพันธ์ดังกล่าวจะต้องเป็นทำนองหนึ่งต่อหนึ่ง (Relation must be one to one) เช่น X is the husband of Y ต้องเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง X และ Y เท่านั้น husband เรียกว่า domain และ wife เรียกว่า converse domain

กฎของ similarity จึงมีอยู่ว่า A class is similar to another class if there is some one-to-one relation of which the first class is the domain and the second the converse domain. ดังเช่นในหมู่ชนที่นิยมมีผัวเดียวเมียเดียว สามีและภรรยาต่างก็มีลักษณะ similar ต่อกัน

Axiom of infinity

เปอาโน ถือว่าถ้าในจักรวาลมีวัตถุอยู่ n หน่วย จำนวนเลขที่มากกว่า n ย่อมเป็นไปไม่ได้นั่นคือ จำนวนเลขไม่รู้จบเป็นของเป็นไปไม่ได้ เพราะอาจจะมีเลขจำนวนสูงสุด ซึ่งไม่มี successor ต่อไป

รัสเซลล์แก้ว่า axiom of infinity อาจจะชี้แจงได้ดังนี้

เนื่องจากเราถือว่าคุณลักษณะหนึ่งก็จัดเป็นชั้นหนึ่ง เพราะฉะนั้นจำเป็นจะต้องมีชั้นหนึ่ง ซึ่งไม่มีคุณลักษณะใดเลย เพราะฉะนั้นไม่มีสมาชิกเลย เลขศูนย์จึงนับเป็นชั้นที่ไม่มีสมาชิก (class with on members) เพราะฉะนั้นแม้ทั้งจักรวาลจะไม่มีอะไรเลย ก็จะต้องมีเลขอย่างน้อยหนึ่งเลข คือ เลขศูนย์ เป็นอันว่าเราได้เลขศูนย์ไม่มีอะไรเลย และได้ชั้นของความว่างเปล่า (empty class) ทั้งสองรวมกันเป็นสมาชิกของชั้นรวมซึ่งนับได้เป็นอีกชั้นหนึ่ง ทำให้มีสมาชิกเป็น 3 สมมติเป็น A (เลขศูนย์) B (ชั้นของเลขศูนย์) และ C (ชั้นของ A และ B รวมกัน) ต่อไปก็จะมีชั้น D ซึ่งเป็นชั้นรวมของ A + B + C เข้าด้วยกัน และ E ซึ่งเป็นชั้นรวมของ A + B + C + D เข้าด้วยกัน และเป็นเช่นนี้ไปอย่างไม่รู้จบ

ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ (Russell’s paradox)

ต่อมารัสเซลล์เองก็ได้เห็นว่า ข้อพิสูจน์ข้างต้นนี้ขัดแย้งตัวเอง เพราะจำนวนเลขและชั้นของจำนวนเลขรวมเข้าเป็นชั้นเดียวกันไม่ได้ เช่น นาย ก กับ คน รวมเป็นชั้นเดียวกันไม่ได้ มิฉะนั้นนาย ก จะเป็นคนและไม่เป็นคนในเวลาเดียวกัน คือ ถ้านาย ก อยู่ในชั้นของ คน คือ ไม่ใช่คน ยุ่งกันใหญ่ เพราะฉะนั้น ข้อพิสูจน์ข้างต้นเป็นปฏิทรรศน์ (paradox)

จากการค้นคว้าของนักตรรกวิทยาพบว่า ชีวิตคนเราอาจจะพบปัญหาที่ไร้คำตอบอีกมาก เป็นเรื่องที่เราต้องยอมรับสภาพ เราพึงดำเนินชีวิตต่อไปตามปกติ ไม่ควรยอมจำนนต่อชีวิตเลยเป็นอันขาด ทั้ง ๆ ที่ยังหาคำตอบไม่ได้ในบางเรื่อง ดังตัวอย่างซึ่งผู้เขียนรวบรวมเป็นตัวอย่างเพิ่มเติมดังต่อไปนี้

• ปัญหาของจระเข้ แม่ลูกอ่อนคนหนึ่งอุ้มลูกน้อยไปเดินเล่นในสวนสัตว์ ด้วยความเผอเรอปล่อยให้จระเข้ตัวหนึ่งคาบลูกน้อยไปได้ ด้วยความรักลูก แม่จึงไหว้วอนขอให้จระเข้ส่งลูกของตนคืนมา จระเข้ตั้งเงื่อนไขว่าถ้าแม่เดาใจมันถูกสักเรื่องหนึ่งมันจะคืนให้ มิฉะนั้นมันจะกินเสียต่อหน้าต่อตา แม่จึงกล่าวว่า “ ถึงเราเดาถูกท่านเอ็ง ก็จะไม่คืนลูกให้ เพราะความอยากรู้ ของท่านเอง “ จระเข้จึงมาคิดดูว่า ถ้ามันกินเด็กน้อยเสียก็จะตรงกับคำเดาของแม่ มันจะเอาลูกที่ไหนมาคืนให้แม่ แต่ถ้ามันคืนเด็กน้อยให้แม่ไปเสีย ก็หมายความว่า แม่เดาใจมันถูก ก็ไม่มีสิทธิ ที่จะกินเด็กเพื่อมิให้เสียสัตย์ต่อวาจาที่ลั่นออกไปจระเข้จะทำอย่างไรดี ช่วยแนะนำให้หน่อยเถิดมันคาบเด็กรอคำตอบ จนเมื่อยปากแล้ว [รู้ว่าเมื่อยป่กแล้วทำไมไม่ว่างลงละ]
• ปัญหาของคนป่า คนป่าเผ่าหนึ่งเป็นมนุษย์กินคน ครั้งหนึ่งจับเชลยมาได้คนหนึ่ง จึงชุมนุมกันทำพิธีสังเวยแล้วก็จะฉลองด้วยอาหารอันโอชะ หัวหน้าเผ่านึกสนุกขึ้นมาจึงลั่นวาจากับเชลยว่า “ไหนเจ้าเชลยตัวดี จงพูดอะไรมาให้ข้าเสี่ยงทายหน่อยซิ ถ้าเจ้าพูดความจริงข้าจะจัดการต้มเจ้า ถ้าเจ้าพูดความเท็จข้าก็จะจัดการย่างเจ้า ถ้าข้าไม่ทำตามคำพูดขอให้เจ้าหักคอข้าเสีย” เชลยคนนั้นดีใจพูดไปว่า “ข้าจะถูกย่าง” หัวหน้าเผ่าจึงสั่งให้ย่าง แต่แม่มดที่อยู่ ณ ที่นั้นค้านว่า ถ้าย่างเขาเจ้าพ่อจะหักคอหัวหน้าเผ่าเพราะเขาพูดความจริงต้องต้ม พ่อมดจึงค้านว่า “ช้าก่อนต้มไม่ได้เพราะถ้าเอาเขาไปต้มก็หมายความว่าเชลยพูดเท็จ ตามคำสาบานของหัวหน้าเผ่าต้องจัดการย่าง มิฉะนั้น ตัวเองก็จะถูกหักคอเสียเอง” คนป่าเผ่านั้นยังปรึกษากันอยู่ตราบเท่าทุกวันนี้ว่าจะกินเชลยคนนั้นได้อย่างไร โดยไม่ให้เจ้าหักคอหัวหน้าเผ่า [ในเผ่านั้นไม่มีพระราชา ไม่มีเจ้า มีแต่ ข้า จะต้มหรือจะย่าง ก็ใด้]
• ปัญหาของนักสืบ นักสืบคนหนึ่งไปถามนายดำว่านายขาวเป็นคนอย่างไร นายดำบอกว่า “นายขาวโกหกเสมอ” ครั้นมาถามนายขาวว่านายดำเป็นคนอย่างไร นายขาวบอกว่า “นายดำพูดจริงเสมอ” นักสืบจะสรุปอย่างไรเกี่ยวกับคนทั้งสอง[สรุปว่าอยากรู้ไปทำไม]
• ปัญหาของช่างตัดผม ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งเป็นโรคเหากันจนปราบไม่ไหว เจ้าหน้าที่เห็นทางออกทางเดียวคือ สั่งให้ทุกคนในหมู่บ้านโกนผมให้หมด เพื่อให้แน่ใจ เจ้าหน้าที่คนนั้นเรียกช่างตัดผมซึ่งมีอยู่คนเดียวในหมู่บ้านนั้นกำชับว่า “ให้แกออกสำรวจคนในหมู่บ้านทุกคน ถ้าพบผู้ใดไม่โกนผมของตนเองแกต้องโกนให้ แต่ถ้าคนไหนโกนผมของตนเองก็อย่าไปโกนให้คนอื่นเป็นอันขาด ถ้าแกขัดคำสั่งนี้แม้แต่ครั้งเดียวแกจะถูกลงโทษ” ช่างตัดผมขณะนั้นยังไม่ได้โกนผม ถ้าเขาจะไม่โกนก็จะถูกลงโทษ ถ้าเขาลงมือโกนเมื่อใดเขาก็จะต้องระงับตามคำสั่ง เพราะจะโกนให้ผู้ที่โกนผมของตนเองไม่ได้ เขาจะทำอย่างไรดีกับผมของตนเองจึงจะไม่ขัดคำสั่งของเจ้าหน้าที่[
• ปัญหาของคนโกหก นักศึกษาคนหนึ่งพูดขึ้นเปรย ๆ ว่า “นักศึกษาย่อมพูดโกหกเสมอ” คำพูดของเขาเช่นนี้เชื่อได้หรือไม่
• ปัญหาของพระราชา พระราชาองค์หนึ่งทรงนึกสนุกขึ้นมาจึงประกาศว่า ถ้าใครสามารถเล่าเรื่องโกหกให้พระองค์เห็นว่าโกหกจริง ๆ ได้ พระองค์จะประทานทองคำให้เป็นรางวัล 1 ไห ได้มีคนมาเล่าเรื่องต่าง ๆ มากมาย พระองค์ก็ตัดสินว่าอาจจะจริงได้ทั้งสิ้น ยังไม่มีใครได้รางวัลไปเลย จนอยู่มาวันหนึ่ง มีชายชราคนหนึ่งมาเล่าว่า “ขอเดชะฯ พระอาญาไม่พ้นเกล้าฯ พระองค์จะเชื่อหรือไม่ก็แล้วแต่จะทรงวินิจฉัย แต่ความเป็นจริงมีอยู่ว่า ครั้งหนึ่งพระราชบิดาของพระองค์ได้ทรงยืมทองคำไปจากข้าพระพุทธเจ้า 1 ไห โดยตรัสให้มาขอคืนจากพระองค์ บัดนี้ข้าพระพุทธเจ้ามาขอคืนตามพระดำรัส ควรมิควรแล้วแต่จะโปรด พระราชาจึงหาวิธีหลีกเลี่ยงอย่างไรจึงจะไม่เสียทองคำ 1 ไห [พระราชาก็ตอบกลับไปว่าบิดาของทานตอนที่มีชีวิตอยู่ก็ได้มายืมทองคำจากเรา ไป ๓ ไหเช่นเดียวกัน ท่านมาก็ดีแล้ว นั้นก็หักไปหนึ่งไห แล้วท่านก็ยังค่าเราอยู่ ๒ ไหนะ]

ทฤษฎีประเภททางตรรกะ (Theory of Logical Types)

รัสเซลพบว่าความยุ่งยากทั้งหลายของประติทรรศน์ข้างต้น เกิดจากการไม่แยกประเภททางตรรกะ (Logical Types) รัสเซลจึงเสนอทฤษฎีประเภททางตรรกะขึ้นมาโดยแถลงว่า หน่วยย่อยและชั้นของหน่วยย่อยเป็นคนละประเภท ( type ) จะรวมเข้าเป็นชั้นเดียวกันไม่ได้ เช่น คนเป็นชั้นหนึ่งหรือประเภทหนึ่งในประเภททั้งหลายของสัตว์ ส่วนนาย ก หาเป็นประเภทไม่ และจะบอกว่าชั้นของคนเป็นสัตว์ตัวหนึ่งก็ไม่ได้ ในทำนองเดียวกัน ชั้นของคนก็หาได้เป็นชั้นของชั้นไม่ เมื่อแยกประเภทกันให้เรียบร้อยเช่นนี้ ประติทรรศน์ก็หมดไป

การบ่ง

ตรรกวิทยาไมใช่เป็นวิชาเกี่ยวกับการอนุมาน ( inference ) ดังที่เคยเข้าใจกันมาแต่เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการบ่ง (implication มากกว่า นั่นคือเป็นการดำเนินความคิดในทำนอง ถ้า….....ก็ (if – then) Material Implication คือ ความสัมพันธ์ถูกผิดระหว่าง 2 ข้อความ (Propositions Functions) ซึ่งก็เป็นความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะนั่นเอง เช่น If human, then mortal จะเห็นว่าการรู้ตายสืบเนื่องมาจากความเป็นคน X is man, ? X is mortal. ซึ่งจะเขียนเป็นฟังก์ชันได้ดังนี้ (X) (YX ? ZX) ฟังก์ชัน = X ซึ่งมี Y เป็น factors ของฟังก์ชัน

วิธีแบ่งปริมาณของฟังก์ชัน (Quantification)

รัสเซลหาวิธีบ่งปริมาณของฟังก์ชันดังนี้( x ) yx = for every x, x is a man.( ?x ) yx = for some x, x is a man.( Ox ) yx = for no x, x is a man.( lx ) yx = at least and at most one thing is a man.= exactly one thing is a man.( 2x ) yx = at least and at most 2 things are men.= exactly two things are men.